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Aide Mémoire - Bruno Gadrat - Enquêtes en paysage, gestion de territoires, un minimum de statistiques sont utiles.

 

Statistiques

Les statistiques servent rarement à comprendre quoi que ce soit, mais sont utiles pour prédire les situations à explorer.

La prise de données doit se faire en respectant des règles qui garantissent la fiabilité de la mesure mais aussi l'éthique des enquêtes.

Enquête d'une population

• Cueillette de l'information http://www.qc.hrdc-drhc.gc.ca/socio-ec/enq_stat/default.html
  • Population et base d'enquête
  • Échantillonage
  • Méthode de collecte
  • Déontologie
  • Évaluation des résultats

Mesures de tendance centrale

• La moyenne est la somme des données divisée par leur nombre. Elle donne le point d'équilibre des valeurs.
  ex: valeurs 9;10;11 -> (9+10+11)/3=10 moyenne=10
• La médiane est la donnée au centre de la distribution rangée par ordre croissant. Il y a autant de données plus grandes que de données plus petites qu'elle.
  ex: valeurs 2;5;7;11;19 -> médiane=7 (quand le nombre de données est pair on fait la moyenne des deux données du milieu)
• Le mode est la valeur la plus représentée.
  ex: valeurs -> 2;3;3;5;5;5;7;9 -> mode=5

Mesures de dispersion

• L'étendue d'une distribution est la différence entre la donnée maximale et la donnée minimale.
  ex: valeurs 2;3;3;5;5;5;7;9 -> 9-2=7 -> étendue=7
• L'écart entre deux rangs donne l'étendue de cette partie de la distribution. L'écart inter-quartile est la différence entre la valeur du troisième et du premier quart de la distribution rangée par ordre croissant. Cette étendue correspond à 50% de l'effectif au centre de l'étendue générale.
  ex:valeurs 1;1;2;3;3;5;5;5;7;8 ->5-2=3 -> écart inter-quartile=3
• La variance est la moyenne des carrés des écarts avec la moyenne.
  L'écart-type est la racine carrée de la variance.
  ex: valeurs -> 1;1;2;3;3;5;5;5;7;8 -> variance=5,2 -> écart-type=2,28 (arrondi)
  

  	Données	écart à la moyenne	Carré des écarts à la moyenne
  	1	-3	9
  	1	-3	9
  	2	-2	4
  	3	-1	1
  	3	-1	1
  	5	1	1
  	5	1	1
  	5	1	1
  	7	3	9
  	8	4	16
  	--------		--------
  Total	40		52
  Moyenne - >	4		5,2 <- varaiance
  		Racine carrée	2,28 <- écart-type

• Dans une distribution normale (Gaussienne, en cloche) à une seule variable la médiane est égale à la moyenne; 68,23% des effectifs sont compris entre la moyenne moins l'écart type et la moyenne plus l'écart type; 95,44% des effectifs sont compris entre la moyenne moins deux fois l'écart type et la moyenne plus deux fois l'écart type; 99,74% des effectifs sont compris entre la moyenne moins trois fois l'écart type et la moyenne plus trois fois l'écart type.

Corrélation entre deux séries de données

• La cote standard d'une donnée est le nombre d'écarts-types que contient son écart à la moyenne. La moyenne des cotes standards donne le coéficient de coefficient de corrélation linéaire. C'est bien pour comprendre la notion mais on fait des calculs qui s'annulent les uns les autres.
• La covariance est la moyenne du produit des écarts à la moyenne.
• Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson (quand les points sont plus ou moins alignés autour d'une droite) de deux caractères X et Y est égal à la covariance de X et Y divisée par le produit des écarts-types de X et Y
  

  	Donnée caractère X	Donnée caractère Y	Écart à la moyenne X	Écart à la moyenne Y	Produit des écarts à la moyenne
  A	6	17	-17	-34	578
  B	9	23	-14	-28	392
  C	10	25	-13	-26	338
  D	12	29	-11	-22	242
  E	18	41	-5	-10	50
  F	22	49	-1	-2	2
  G	30	65	7	14	98
  H	34	73	11	22	242
  I	44	93	21	42	882
  J	45	95	22	44	968
  total	230	510			3792
  moyenne	23	51		Covariance ->	379,2
  Écart-type	14,51	29,03		Coeficient de corrélation linéaire ->	379,2/(14,51*29,03)=0,9

• Le coeficient de de corrélation de rang de Spearman (quand le nuage de points se tord) est égal à 1 moins 6 fois la moyenne des carrés des écarts de leur rang divisé par le cube de l'effectif moins l'effectif. Si des valeurs sont égales on fait la moyenne de leur rang. ex: valeurs {2;3;3;5;7} -> rang{1;2,5;2,5;4;5}
  coef=1-(6*(moyenne((rang(X) - rang(Y))^2))/(n^3-n))
  

  	donnée X	Donnée Y	rang X	rang Y	rang X -rang Y	carré de la différence de rang
  	17	2	1	1	0	0
  	20	3	2	2,5	-0,5	0,25
  	23	3	3	2,5	0,5	0,25
  	27	7	4	5	-1	1
  5	30	5	5	4	-1	1
  	-----	-----	-----	-----	-----	-----
  Total	117	20	15	15	-2	2,5
  					Coeficient de Spearman =1-((6*0,5)/(5*5*5-5))	0,875

Droite de régression. Idéal de la nature calculable et prévisible.

• La droite de régression idéalise dans une fonction linéaire y=f(x) la relation entre les points.
  • On peut la tracer à l'oeil en faisant passer la droite dans l'axe du nuage de points. Respect de la direction, division égale du nombre de points, passage par le plus de points possibles et pas d'accumulation de points d'un côté ou d'un autre aux extrêmités.
  • On peut tracer la droite de régression en reliant les points médians du premier et du troisième tiers de la série. Avec ces deux points on peut calculer la droire.
  • On peut calculer la droite par la méthode des moindes carrés
    y=ax+b
    a=covariance(x;y)/(ecart-type(x))^2
    b=moyenne(y)-a*moyenne(x)

gadrat/s/statistique/statistique.html rev. 2003/03/16

• Claude Grasland 1998 - Pour la corrélation et bien plus dans un langage simple > http://ibm2.cicrp.jussieu.fr/grasland/STAT98/stat98_6/stat98_6.htm

 

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